（注：文中将阿拉夫零记为alf(0)，阿拉夫一记为alf(1)，依次类推…)

由于alf(0)是无穷基数，阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算，因而，以下的结果也不足为怪：　
alf(0)+ 1 = alf(0) alf(0) + n = alf(0) alf(0) + alf(0) = alf(0) alf(0) X n = alf(0) alf(0) X alf(0) = alf(0)　

alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为alf(0)。由可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为alf(0)；或由它们的基数为alf(0)，得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比alf(0)更大的基数。乘法运算无法突破alf(0),但幂集可突破：２alf(0) = alf(1) 可以证明实数集的基数card(Ｒ) = alf(1)。进而，阿拉夫"家族"一发而不可收：２alf(1) = alf(2); ２alf(2) = alf(3); …… alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想，得出：空间所有曲线的数目。但而后的alf(3)，人类绞尽脑汁，至今为能道出眉目来。此外，还有一个令人困惑的连续统之迷："alf(0)与alf(1)之间是否还存在另一个基数？"

公元１８７８年，康托提出了这样的猜想：在alf(0)与alf(1)之间不存在其它的基数。但当时康托本人对此无法予以证实。

公元１９００年，在巴黎召开的第二次国际数学家会议上，德国哥庭根大学教授希尔伯特提出了举世闻名的２３个二十世纪须攻克的数学问题中，连续统假设显赫的排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完全出人意料的。

公元１９３８年，奥地利数学家哥德尔证明了"连续统假设决不会引出矛盾"，意味着人类根本不可能找出连续统假设有什么错误。１９６３年，美国数学家柯亨居然证明了："连续统假设是独立的"，也就是说连续统假设根本不可能被证明。