高二数学第二次段考测验题

一、单项选择题（每题5分，共50分）

1．下列事件中是必然事件的只有（   ）

    （A）抛一石块，下落            （B） 在常温下，焊锡熔化

    （C）某人射击一次，中靶        （D） 掷一枚硬币，出现正面

2．5个人站成一排，如果甲必须站在正中间，则有（  ）种排法；

    （A）12         （B）24        （C）60         （D）120

3．国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”，“小球”的直径为38mm，“大

球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为(   )

（A） :      （B）19:20     （C） :       （D） :

4． 展开式的常数项为（　　）

    （A）6　　     （B） 　　　（C）12　　　   　（D）

5. 已知直线m、n和平面 ，则m∥n的一个必要条件是（   ）

（A）m∥ ，n∥          （B）m⊥ ,n⊥  

（C） m∥ ,n          （D） m、n与 成等角

6．有4个不同的红球和6个不同的白球，若每次取出4个球，取出1个红球记2分，取出1个白球记1分，使总分不小于5分的不同取法的种数为（    ）

（A）16     （B）195      （C）45       （D）175

7．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为 ，则甲以3∶1的比分获胜的概率为     （   ）  

 （A）          （B）         （C）         （D）

8．设a，b是两条不同的直线，a，b是两个不同的平面，则下面四个命题：

① 若a⊥b, a⊥a, b Ë a, 则b∥a ;

② 若a∥a, a⊥ b, 则a⊥b ;

③ 若a⊥b, a⊥b, 则a∥a或a Ì a ;

④ 若a⊥b, a⊥a, b⊥ b, 则a⊥b ;

  其中正确的命题是（   ）

   (A) 仅①      (B) 仅②      (C) ①②③     (D) ①③④

9．某展览会一周（七天）内要接待三所学校学生参观，每天只安排一所学校，其中甲学校要连续参观两天，其余学校均参观一天，则不同的安排方法的种数有（   ）

    （A）210         （B）50         （C）60         （D）120

10．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D—ABC的体积为（   ）

     （A）       （B）         （C）         （D）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第11题的第一个空为2分，第2个空为3分）

11． _______________； =_______________；

12．某种型号的地对空导弹击中目标的概率为90%，至少要_______________ 枚导弹同时发射一次，才能使击中目标的概率超过99%.

13．设二项式（ 的展开式的各项系数的和为 ，所有二项式系数的和为 ，若 + =1056，则 等于       .

14. 在下面4个平面图形中, 哪些是右面正四面体的展开图，其序

号是 __          ____ . (把你认为正确的序号都填上)

第14题

①             ②                ③               ④

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．(本小题满分13分)

在20件产品中，有18件合格品，2件次品. 从这20件产品中任意抽出3件.

（1）    一共有多少种不同的抽法？

（2）    抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

（3）    抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

16．（本小题满分12分）

   在学校的科技活动日中，有六件科技作品在展台上排成一排展出.

   （Ⅰ）求作品甲不在两端的概率；

   （Ⅱ）求作品甲、乙相邻的概率.

17．（本小题满分14分）

    如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AA₁=2 ，∠ACB=90°，M是AA₁的中点，N是BC₁中点.

   （Ⅰ）求证：MN∥平面A₁B₁C₁；

   （Ⅱ）求二面角B－C₁M—A的大小.

18.（本小题满分13分）

某学校的生物实验室里有一个鱼缸，里面有6条鱼，其中4条黑色的和2条

红色的，有位生物老师每周4天有课，每天上、下各一节课，每节课前从鱼缸中任取1条鱼在课上用，用后再放回鱼缸.

   （1）求这位生物老师在一天中上、下午所捞的鱼为同色的概率；

   （2）求这位生物老师一周中恰有两天上、下午所捞得的鱼为不同色的概率.

A

B

C

D

E

F

19.(本大题满分14分)
　　如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC = 90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE = AB = 2，CD = 1，点F是AE的中点．
　　(1)求证：DF∥平面ABC；                     
    (2)求AB与平面BDF所成角的大小                 

20. (本小题满分14分)

如图为某四棱锥的展开图.其中ABCD是边长为a的正方形.SA=PA=a，DR=SD，

BQ=BP且点S、A、B、Q及P、A、D、R共线，沿图中虚线将它们折叠成四棱锥，使P、Q、R、S四点重合为S.

   （1）请画出四棱锥S—ABCD的示意图，并证明SA⊥底面ABCD；

   （2）若E为AB中点，求二面角E—SC—D的大小；

   （3）求D到面SEC的距离.

参考答案及评分标准建议

ABCCD   BADDD

20   148    3   5    ①②

15．解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从20件产品中取出3件的组合数

答：共有1140种抽法.--------------------------------4分

       （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有 种，从18件合格品中抽出2件合格品的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法的种数是

           答：3件中恰好有1件是次品的抽法有306种.-----------8分

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从20件中抽出3件的抽法的种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即

答：3件中至少有1件是次品的抽法有324种.----------13分

16．解（Ⅰ）作品甲不在两端的概率 ------------------5分

          所以作品甲不在两端的概率为 ；--------------------6分

（Ⅱ）作品甲、乙相邻的概率 --------------------11分

作品甲、乙相邻的概率为 ----------------------12分

17．解：（Ⅰ）如图，以点C为坐标原点，以CB所在

直线为Ox轴，CA所在直线为Oy轴，CC₁所在直线

为Oz轴，建立空间直角坐标系.

由已知得 、 、 .

, ,

所以

所以 ------------2分

 所以MN//A₁N；------------4分

又 所以MN//平面A₁B₁C₁；----5分

（Ⅱ）三棱柱ABC—A₁B₁C₁为直三棱柱，所以CC₁⊥BC，

-------------7分

设垂直于平面BMC₁的向量

所以    即

所以 ---------------------------------------10分

所求二面角的大小 ----13分

即二面角B—C₁M—A的大小为 ----------------------14分

18． 解：（1）设一天同为黑色鱼的概率为p₁，同为红色鱼的概率为p₂，

则 -----------------------------5分

答：这位生物老师在一天中上、下午所捞的鱼为同色的概率为 ---6分

   （2）恰有两天不同色的概率为  -12分

答：这位生物老师一周中恰有两天上、下午所捞得的鱼为不同色的

A

B

C

D

E

F

概率为 --------------------------------------------13分

19．(1)解：取AB的中点G，连CG，FG，
    则FG∥BE，且FG＝ BE，
    ∴ FG∥CD且FG＝CD，-----------3分
    ∴ 四边形FGCD是平行四边形，
    ∴ DF∥CG，
    又∵ CG 平面ABC，
    ∴DF∥平面ABC    --------------6分

(2)解：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x、y、z轴，建立如图的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，2，1)，E(0，0，2)，F(1，0，1)
    ∴ (0，2，1)， (1，－2，0)-------------------------8分
    设平面BDF的一个法向量为n = (2，a，b)，
    ∵ n⊥ ，n⊥ ， ∴ ---------------------------10分
    即 ，解得 ，
    ∴n =(2，1，－2)-----------------------------------------12分
    又设AB与平面BDF所成的角为 ，则法线n与 所成的角为 ，
    ∴ ，
    即 ，故AB与平面BDF所成的角为arcsin ．---------14分

20. (本小题满分14分)

解：（1）示意图如右图-----------2分

∵S、A、D、Q共线， ∴SA⊥AB

∵PABR共线，∴PA⊥AD

∵S、P、R、Q合为S， ∴PA即SA       

∴SA⊥面ABCD  -------------4分

   （2）取SD中点F，SC的中点G，

连AF、FG、EG，

  -----------------6分

----8分

                                                    

∴二面角E—SC—D的平面角为90------------------------------9分

（3） --------------------11分

∴DH为点D到面SEC的距离 ∴DH·SC=SD·DC---------------------------------12分

.------------------------------------------------------------------14分

      （此题第（2）、（3）用空间向量解也行，可相应给分）