归纳法在数学解题中的应用

黄永友 (广东省中山市小榄实验高级中学  528415)

摘要：归纳推理是合情推理的一种，是人们从特殊到一般地认识事物本质的一种常用的思维推理思想。在解数学题时，我们可以通过解决特殊化的的问题，归纳出解决一般性问题的方法，在许多情况下，用这种归纳法解数学题还是最好、最快的方法。

关键词：特殊化、归纳法、简便快捷

在高中数学的新课程标准中，增加了合情推理和演绎推理一节内容。归纳推理是合情推理的一种，是人们从特殊到一般地认识事物本质的一种常用的思维推理思想。学好这种推理方法对解数学题有很大的好处，我们可以通过解决特殊化的的问题，归纳出解决一般性问题的方法。在许多情况下，用这种归纳法解数学题还是最好、最快的方法。

1　归纳法在解选择题中的应用

归纳法在解选择题中的应用主要表现为“特殊值法”。在选择题中，若对于某一大类条件，结果都有四个选项中的唯一项成立，那么用一个特殊化的条件（满足题目条件）代入选项，若可检查出唯一正确的选项，那么它就是答案。这种解法比由题目的条件、定理、公式用演绎推理要快捷得多。

例1（1994上海，12）．若０＜ａ＜１，则下列不等式中正确的是（　　）
A.             B.

C.            D. .

分析：可用特殊值法．取 ，则 .

因为 是减函数，又 ，所以 ，故选A．

评：在解不等式的选择题中，很多题目都可用特殊性值法．

例2（1994全国，4）．设 是第二象限角，则必有（　）

A. 　　B. 　C.    D. .

解法一：特殊值法．因为对于所有第二象限角 ，都有这四个选取项中唯一的一项正确，可取 时，则有 ，显然可排除B、D；再取 时，有 ，比较选项A、C，可知只有选项A是正确，故选A．

解法二：因为 是第二象限角，所以有：

当ｋ为偶数时，有 ；

当ｋ为奇数时，

由三角函数和单位圆的性质，作出单位圆（如图１），观察可知：只有选项A是正确的．

 评：从形式上看，这题解法二说理似乎是十分合理，但是其推理很难让人明白；而解法一只是用二个特殊角进行计算它们的三角函数值，进行比较就可知答案了，所以解法一快捷得多．

例3（1997上海，6）．设 ，那么 等于（ 　）．

A. 　　 　B.       C. 　　　D．  

解法一：特殊值法．取n=1时，有 ，只有选项D正确，故选D．

解法二：因为

故选D．

评：显然，这题的解法一采用特殊值法计算更为简便、快捷.

例4（2004全国IV,12）．

设函数 为奇函数，且 则f(5)等于（ ）．

A．0　　      　B．1     　 　C． 　 　   　D．5

分析：可用特例分析法．

由于函数 为奇函数，且  可取 ，则有：

故选C．

评：这题也可用抽象函数的代换法，但相对是比较难理解。

2   归纳法在解填空题中的应用

与解选择题类似，解填空题时也不需要写出解答过程，如果我们把问题中的不确定的量、位置特殊化，可以直接、简捷地得到答案．这也是由特殊到一般的归纳推理思想的应用．

例5．如图2所示，P为 椭圆 上的点（非长轴的端点）， 为焦点，A为 △ 的内心，PA的延长线交 于B，则BA：AP的值为（  ）．

解：把点P取在ｙ轴上（如图3），则A、B也在y轴上，且B、O重合.

有 由角平分线的性质可得：

评：此法避免了繁锁的计算，我认为是最好的方法.

3     归纳法在解解答题中的应用

在解某些解答题时，先对问题中的条件进行特殊化处理，通过对特殊条件下的解题的思路和方法的推广与延伸，可以帮助我们发现一般问题的结论和解法．

例6（2002全国理，21）．设数列 满足

(Ⅰ)当 时，求 ，并由此猜想出 的一个通项公式；

(Ⅱ)当 时，证明对所有的 ，有：⑴ ；    ⑵略

解：(Ⅰ)将 和n=1、2、3分别代入递推公式 ，

可求出：

由此可猜想出：

(Ⅱ) ⑴可用数学归纳法进行证明，过程：略．

评：这题是典型的用不完全归纳法和数学归纳法进行解题的题目．

例7（2004江苏，20）．设无穷等差数列 的前ｎ项和为 ．

(Ⅰ)若首项 ，公差d=1时，求满足 的正整数ｋ；

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列 ，使得对于一切正整数ｋ都有 成立．

分折：在解这题的第二问时，如果我们用等差数列前ｎ项和公式代入题目的条件 ，化成关于ｋ的恒等式后再求解，即解

中的 ，由于这一个方程中有三个未知数，要解出其中的两个，这简直就象走进死胡同．

因为求所有的无穷等差数列 ，使得对于一切正整数ｋ都有 成立，如果我们可将ｋ特殊化，由ｋ=1、2时的情形，就可以顺利地找到所有这样的等差数列．

解：(Ⅱ)设无穷等差数列 的公差为ｄ．

分别取k=1、2代入 中，得：

即

解（*）得 或

代入 检验后，符合条件的有三组解：

所以，满足条件的无穷等差数列 有：

(1) ：

(2) ：

(3) ：

参考文献：

1　樊洪涛、徐义明．数学解题中的特殊化方法．数学通报．2005,11．

2　王后雄．高考核心突破．吉林人民出版社．2004年11月第2版第1次印刷．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2006年11月18日