人教版数学考前100个提示（例题）
一、集合与逻辑
1、区分集合中元素的形式：如： -函数的定义域； -函数的值域； -函数图象上的点集，如（1）设集合 ，集合N＝ ，则 ___（答： ）；（2）设集合 ， ， ，则 _____（答： ）
2、条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况
如： ，如果 ，求 的取值。（答：a≤0）
3、 ;
CUA={x|x∈U但x A}; ;真子集怎定义？
含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足 集合M有______个。 （答：7）
4、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=?
5、A∩B=A A∪B=B A B CUB CUA A∩CUB= CUA∪B=U
6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ，使 ，求实数 的取值范围。 （答： ）
7、原命题: ;逆命题: ;否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两个命题是等价的.
如： 是 的 条件。（答：充分非必要条件）
8、若 且 ;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）;
9、注意命题 的否定与它的否命题的区别:
命题 的否定是 ；否命题是
命题p或q的否定是┐P且┐Q，p且q的否定是┐P或┐Q
注意：如 若 和 都是偶数，则 是偶数的
否命题是若 和 不都是偶数，则 是奇数
否定是若 和 都是偶数，则 是奇数
二、函数与导数
10、指数式、对数式：
， ，， ， ， ， ， ， ， 。
如 的值为________(答： )
11、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数;
12、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点式f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0偶函数;
③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数 的定义域、值域都是闭区间 ，则 ＝ （答：2）
④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
13、反比例函数: 平移 (中心为(b,a))
14、对勾函数 是奇函数,
15、单调性①定义法;②导数法. 如：已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是____(答： ))；
注意①： 能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ，∴ 是 为增函数的充分不必要条件。
注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，求实数 的取值范围。（答： ）
③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式. 如函数 的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
16、奇偶性：f(x)是偶函数 f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。
17、周期性。（1）类比三角函数图像得：
①若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期为 ；
②若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，且一周期为 ；
③如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，
则函数 必是周期函数，且一周期为 ；
如已知定义在 上的函数 是以2为周期的奇函数，则方程 在 上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义函数 满足 ，则 是周期为 的周期函数得：①函数 满足 ，则 是周期为2 的周期函数；②若 恒成立，则 ；③若 恒成立，则 .
如(1) 设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 等于_____(答： )；(2)定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 是锐角三角形的两个内角，则 的大小关系为_________(答： )；
18、常见的图象变换
①函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左 或向右 平移 个单位得到的。如要得到 的图像，只需作 关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答： ；右)；（3）函数 的图象与 轴的交点个数有____个(答：2)
②函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上 或向下 平移 个单位得到的；如将函数 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线 对称,那么 (答：C)
③函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。如（1）将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将此图像沿 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答： )；（2）如若函数 是偶函数，则函数 的对称轴方程是_______(答： )．
④函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的.
19、函数的对称性。
①满足条件 的函数的图象关于直线 对称。如已知二次函数 满足条件 且方程 有等根，则 ＝_____(答： )；
②点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为 ；
③点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为 ；
④点 关于原点的对称点为 ；函数 关于原点的对称曲线方程为 ；
⑤点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。特别地，点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 ；点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。如己知函数 ,若 的图像是 ,它关于直线 对称图像是 关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是___________（答： ）；
若f(a－x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x= 对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x= 对称。
提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如（1）已知函数 。求证：函数 的图像关于点 成中心对称图形。
⑥曲线 关于点 的对称曲线的方程为 。如若函数 与 的图象关于点（-2，3）对称，则 ＝______（答： ）
⑦形如 的图像是双曲线，对称中心是点 。如已知函数图象 与 关于直线 对称，且图象 关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）
⑧ 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去 轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到。如（1）作出函数 及 的图象；（2）若函数 是定义在R上的奇函数，则函数 的图象关于____对称 （答： 轴）
20.求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型： --------------- ；
②幂函数型： -------------- ， ；
③指数函数型： ---------- ， ；
④对数函数型： --- ， ；
⑤三角函数型： ----- 。
如已知 是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 __（答：0）
21.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域为B,则f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。
如：已知函数 的图象过点(1,1),那么 的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；
22、题型方法总结
Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同
Ⅱ求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： ；顶点式： ；零点式： ）。如已知 为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2 ,求 的解析式 。（答： ）
（2）代换（配凑）法――已知形如 的表达式，求 的表达式。如（1）已知 求 的解析式（答： ）；（2）若 ，则函数 =_____（答： ）；（3）若函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，那么当 时， =________（答： ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即 的定义域应是 的值域。
（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组。如（1）已知 ，求 的解析式（答： ）；（2）已知 是奇函数， 是偶函数，且 + = ,则 = （答： ）。
Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；
如：若函数 的定义域为 ，则 的定义域为__________（答： ）；（2）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________（答：[1,5]）．
Ⅳ求值域:
①配方法：如：求函数 的值域（答：[4,8]）；
②逆求法（反求法）：如： 通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围（答：（0,1））；
③换元法：如（1） 的值域为_____（答： ）；（2） 的值域为_____（答： ）（令 ， 。运用换元法时，要特别要注意新元 的范围）；
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
如： 的值域（答： ）；
⑤不等式法――利用基本不等式 求函数的最值。如设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是____________.（答： ）。
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求 ， ， 的值域为______（答： 、 、 ）；
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如（1）已知点 在圆 上，求 及 的取值范围（答： 、 ）；（2）求函数 的值域（答： ）；
⑧判别式法：如（1）求 的值域（答： ）；（2）求函数 的值域（答： ）如求 的值域（答： ）
⑨导数法;分离参数法;―如求函数 ， 的最小值。（答：－48）
用2种方法求下列函数的值域：① ②（ ；③
⑤解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.⑥恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立 a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立 a≤[f(x)]min; ⑦任意定义在R上函数f（x）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f（x）＝
其中g（x）＝ 是偶函数，h（x）＝ 是奇函数
⑦利用一些方法（如赋值法（令 ＝0或1，求出 或 、令 或 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若 ， 满足
，则 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图像如右图所示，那么不等式 的解集是_____________（答： ）；（4）设 的定义域为 ，对任意 ，都有 ，且 时， ，又 ，①求证 为减函数；②解不等式 .（答： ）．
23、导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
V＝s/(t)表示t时刻即时速度,a=v′(t)表示t时刻加速度。如一物体的运动方程是 ，其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）
24、基本公式:
25、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数
过点 作曲线 的切线，求此切线的方程（答： 或 ）。
⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f/(x)≥0得增区间;解不等式f/(x)≤0得减区间;注意f/(x)=0的点; 如：设 函数 在 上单调函数，则实数 的取值范围______（答： ）；
⑶求极值、最值步骤:求导数;求 的根;检验 在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：（1）函数 在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5； ）；（2）已知函数 在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最__值__答：大， ）（3）方程 的实根的个数为__（答：1）
特别提醒：（1） 是极值点的充要条件是 点两侧导数异号，而不仅是 ＝0， ＝0是 为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑 ，又要考虑检验左正右负(左负右正)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数 处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）
三、数列、
26、an={ 注意验证a1是否包含在an 的公式中。
27、
如若 是等比数列，且 ，则 ＝ （答：－1）
28、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式 ,或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若 是等差数列，首项 ， ，则使前n项和 成立的最大正整数n是 （答：4006）
29、等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn= = =
等比数列中an= a1 qn-1;当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn= =
30.常用性质：等差数列中, an=am+ (n－m)d, ;当m+n=p+q,am+an=ap+aq；
等比数列中，an=amqn-m; 当m+n=p+q ，aman=apaq；
如（1）在等比数列 中， ，公比q是整数，则 =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 （答：10）。
31.常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、 、{anbn}、 等比;{an}等差,则 (c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c 1)等差。
32.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
33. 等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
如：公比为-1时， 、 - 、 - 、…不成等比数列
34.等差数列{an},项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an ; 项数为 时，则 ;项数为奇数 时， .
35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.
分组法求数列的和：如an=2n+3n 、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n、裂项法求和：如求和： （答： ）、倒序相加法求和：如①求证： ；②已知 ，则 ＝___（答： ）
36.求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：
①an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
求通项常法: （1）已知数列的前n项和 ,求通项 ，可利用公式:
如：数列 满足 ，求 （答： ）
（2）先猜后证
（3）递推式为 ＝ ＋f(n) (采用累加法)； ＝ ×f(n) (采用累积法)；
如已知数列 满足 ， ，则 =________（答： ）
（4）构造法形如 、 （ 为常数）的递推数列如①已知 ，求 （答： ）；
（5）涉及递推公式的问题，常借助于迭代法解决，适当注意以下3个公式的合理运用
an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+……＋（a2－a1）＋a1 ； an＝
（6）倒数法形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知 ，求 （答： ）；②已知数列满足 =1， ，求 （答： ）
37、常见和： ， ，
四、三角
38、终边相同(β=2kπ+α); 弧长公式： ，扇形面积公式： ，1弧度(1rad) . 如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2 ）
39、函数y= b（ ）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T= ,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+ 时偶函数.③对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比. 如（1）函数 的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数 为常数），且 ，则 ______（答：－5）；（3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答： 、 ）；（4）已知 为偶函数，求 的值。（答： ）
④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;
40、正弦定理:2R= = = ; 内切圆半径r= 余弦定理：a =b +c -2bc , ;
术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°＝等
41、同角基本关系：如：已知 ，则 ＝____； ＝_________（答： ； ）；
42、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视 为锐角)
43、重要公式： ； ．； ;
如：函数 的单调递增区间为___________（答： ）
巧变角：如 ， ， ， ， 等），如（1）已知 ， ，那么 的值是_____（答： ）；（2）已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关系为______（答： ）
44、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 )如：（1）当函数 取得最大值时， 的值是______(答： )；（2）如果 是奇函数，则 = (答：－2)；
五、平面向量
45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是－ 。)、共线向量、相等向量
注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）
46、加、减法的平行四边形与三角形法则: ;
47、 ,
41、（5）向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则：
① ；
②当 ， 同向时， ＝ ，特别地， ；当 与 反向时， ＝－ ；当 为锐角时， ＞0，且 不同向， 是 为锐角的必要非充分条件；当 为钝角时， ＜0，且 不反向， 是 为钝角的必要非充分条件；③ 。如（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______（答： 或 且 ）；
48、向量b在 方向上的投影︱b︱cos ＝
49、 和 是平面一组基底,则该平面任一向量 ( 唯一)
特别：. ＝ 则 是三点P、A、B共线的充要条件如平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足 ,其中 且 ,则点 的轨迹是_______（答：直线AB）
50、在 中，① 为 的重心，特别地 为 的重心；② 为 的垂心；
③向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)；
④ 的内心；
⑤S⊿AOB＝ ;
如：（1）若O是 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为____（答：直角三角形）；（2）若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足 ，设 ，则 的值为___（答：2）；（3）若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为____（答： ）；
51、 P分 的比为 ,则 = , ＞0内分; ＜0且 ≠-1外分.
＝ ;若λ＝1 则 ＝ ( + );设P(x,y),P1(x1,y1),
P2(x2,y2)则 ;中点 重心
52、点 按 平移得 ,则 ＝ 或 函数 按 平移得函数方程为： 如（1）按向量 把 平移到 ，则按向量 把点 平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则 ＝________（答： ）
六、不等式
53、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab>0，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知 ， ，则 的取值范围是______（答： ）；
54、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与0比，与1比或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设 ，比较 的大小（答：当 时， （ 时取等号）；当 时， （ 时取等号））；（2）设 ， ， ，试比较 的大小（答： ）
55、常用不等式：若 ，（1） （当且仅当 时取等号） ；（2）a、b、c R， （当且仅当 时，取等号）；（3）若 ，则 （糖水的浓度问题）。
如：如果正数 、 满足 ，则 的取值范围是_________（答： ）
基本变形：① ； ；
注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数 的最小值 。（答：8）
②若若 ，则 的最小值是______（答： ）；
③正数 满足 ，则 的最小值为______（答： ）；
56、 (何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a
57、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。⑤放缩法方法有：
⑴添加或舍去一些项，如： ；
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如： ；
⑷利用常用结论：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：
已知 ，可设 ；
已知 ，可设 ( )；
已知 ，可设 ；
已知 ，可设 ；
⑦最值法,如：a>fmax(x),则a>f(x)恒成立.
58、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方
④公式法：|f(x)|>g(x) ;|f(x)|<g(x) 。
59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回
如（1）解不等式 。（答： 或 ）；（2）解不等式 （答： 时， ； 时， 或 ； 时， 或 ）
七、立几
60. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a∥α、a∩α=A (a α) 、a α③平面与平面:α∥β、α∩β=a
61. 常用定理:①线面平行 ; ;
②线线平行: ; ; ;
③面面平行: ; ;
④线线垂直: ;所成角900； (三垂线);逆定理?
⑤线面垂直: ; ; ;
⑥面面垂直：二面角900; ;
62. 求空间角①异面直线所成角 的求法：（1）范围： ；（2）求法：平移以及补形法、向量法。如（1）正四棱锥 的所有棱长相等， 是 的中点，那么异面直线 与 所成的角的余弦值等于____（答： ）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围 ；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为______（答：arcsin ）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答： ）；③二面角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法： 、转化为法向量的夹角。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为________（答： ）；（2）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角C1-BD1-B1的大小为______（答： ）；（3）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是______（答： ）；
63. 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系
三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直) 顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等) 顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S侧cosθ=S底;正三角形四心?内切外接圆半径?;
64. 空间距离:①异面直线间距离:找公垂线; ②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法 .③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;
65. 求球面两点A、B距离①求|AB|②算球心角∠AOB弧度数③用公式L球面距离=θ球心角×R;纬线半径r＝Rcos纬度。S球=4πR2;V球＝ πR3;
66. 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;
67. 从点O引射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上;若A到OB与OC距离相等,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上；
68. 常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行 线面平行 面面平行⑥线线垂直 线面垂直 面面垂直⑦有中点等特殊点线,用中位线、重心转化.
69.三面角公式:AB和平面所成角是θ,AB在平面内射影为AO,AC在平面内,设∠CAO=α,∠BAC=β,则cosβ=cosθcosα;长方体:对角线长 ;若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α,β,γ,则有cos2α+cos2β+cos2γ=1;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长;
特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：
八、解几
70.倾斜角α∈[0,π],α=900斜率不存在;斜率k=tanα=
71.直线方程:点斜式 y-y1=k(x-x1);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0
两点式: ;截距式: (a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为 =(A,-B)
72.两直线平行和垂直①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2 k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2 k1k2=-1
②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0；
③若A1、A2、B1、B2都不为零l1∥l2 ;
④l1∥l2则化为同x、y系数后距离d=
73.l1到l2的角tanθ= ;夹角tanθ=| |;点线距d= ;
74.圆:标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
参数方程: ;直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
75.若(x0-a)2+(y0-b)2<r2(=r2,>r2),则 P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外)
76.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，又:ｄ>r 相离;d=r 相切;d<r 相交.
77.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d>r+R 两圆相离;d＝r+R 两圆相外切;|R－r|<d<r+R 两圆相交;d＝|R－r| 两圆相内切;d<|R－r| 两圆内含;d=0,同心圆。
78.把两圆x2+y2+D1x+E1y+C1=0与x2+y2+D2x+E2y+C2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f1(x,y)=0与曲线f2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f1(x,y)+λf2(x,y)=0
79.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心)
80.椭圆①方程 (a>b>0);参数方程 ②定义: =e<1; |PF1|+|PF2|=2a>2c③e= ,a2=b2+c2④长轴长为2a，短轴长为2b⑤焦半径左PF1=a+ex,右PF2=a-ex;左焦点弦 ,右焦点弦 ⑥准线x= 、通径(最短焦点弦) ,焦准距p= ⑦ = ,当P为短轴端点时∠PF1F2最大,近地a-c远地a+c;
81.双曲线①方程 (a,b>0)②定义: =e>1;||PF1|-|PF2||=2a<2c③e= ,c2=a2+b2④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离⑥准线x= 、通径(最短焦点弦) ,焦准距p= ⑦ = ⑧渐进线 或 ;焦点到渐进线距离为b; 13.抛物线①方程y2=2px②定义:|PF|=d准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴？焦点F( ,0),准线x=- ,④焦半径 ;焦点弦 ＝x1+x2+p;y1y2=－p2,x1x2= 其中A(x1,y1)、B(x2,y2)⑤通径2p,焦准距p;
105. B>0,Ax+By+C>0表示直线斜上侧区域;Ax+By+C<0表示直线斜下侧区域;
A>0,Ax+By+C>0表示直线斜右侧区域;Ax+By+C<0表示直线斜左侧区域;
求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系.
82.过圆x2+y2=r2上点P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r2;过圆x2+y2=r2外点P(x0,y0)作切线后切点弦方程:x0x+y0y=r2;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.
83.对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的对称点分别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x对称曲线为f(y,x)=0;关于轴x=a对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题.
84.相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式 ②涉及弦中点与斜率问题常用点差法.如: 曲线 (a,b>0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为M(x0,y0),则KABKOM= ;对抛物线y2=2px(p≠0)有KAB＝
85.轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用x、y表示x1、y1,再将x1、y1代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等.
86.解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax2+Bx2＝1;共渐进线 的双曲线标准方程可设为 为参数, ≠0);抛物线y2=2px上点可设为( ,y0);直线的另一种假设为x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义.
87、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量 或 ；
（2）给出 与 相交,等于已知 过 的中点;
（3）给出 ,等于已知 是 的中点;
（4）给出 ,等于已知 与 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：① ；②存在实数 ；③若存在实数 ,等于已知 三点共线.
（6） 给出 ，等于已知 是 的定比分点， 为定比，即
（7） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角,
（8）给出 ,等于已知 是 的平分线/
（9）在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形;
（10） 在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是矩形;
（11）在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在 中，给出 ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在 中，给出 等于已知 通过 的内心；
（15）在 中，给出 等于已知 是 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的中线;
九、排列、组合、二项式定理
88、计数原理：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答： ）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合 和 中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5） 的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同 的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；
89、排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (m≤n,m、n∈N*),
0!=1; =n!; n.n!=(n+1)!-n!; ;
90、组合数公式： = （m≤n）,
; ; ;
91、主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先。如：某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；.②捆绑法如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____（答：2880）；（2）某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为_____（答：20）；③插空法如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：24）；（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：42）。
④间接扣除法如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____（答：15）。
⑤隔板法如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）
⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题) 如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____（答：576）。
92、二项式定理
特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
93、二项展开式通项: Tr+1= Cnran－rbr ;作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与项的系数；
94、二项式系数性质:①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等.Cnm=Cnn－m
②中间项二项式系数最大:n为偶数,中间一项;若n为奇数,中间两项(哪项?)
③二项式系数和
95、f(x)=(ax+b)n展开各项系数和为f(1);奇次项系数和为 ;偶次项系数和为 ; 展开各项系数和,令 可得.
96、二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和。
十、概率与统计
97、随机事件 的概率 ，其中当 时称为必然事件；当 时称为不可能事件P(A)=0；
98、等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n;如： 设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：① ；② ；③ ；④ ） 互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B); 如：有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答： ）；对立事件(A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一发生):P(A)+P( )＝1;独立事件(事件A、B的发生互不影响):P(AoB)＝P(A)·P(B); 如（1）设两个独立事件A和B都不发生的概率为 ,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______（答： ）；（2）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）；独立事件重复试验：:Pn(K)=Cnkpk(1-p)n-k 为A在n次独立重复试验中恰发生k次的概率。如（1）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答： ）；（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________（答： ）
99、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时). 共同点：每个个体被抽到的概率都相等 。如：某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= _______（答：200）；
100、总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）
直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率
样本平均数：
样本方差： ；
＝ (x12+x22+ x32+…+xn2－n )
方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。
提醒：若 的平均数为 ，方差为 ，则 的平均数为 ，方差为 。如已知数据 的平均数 ，方差 ，则数据 的平均数和标准差分别为 A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36 （答：B）
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