2008届高三数学（理科）综合试题

 本试卷满分150分．考试时间120分钟．

命题人：中山实验高中  李云鼎     审核人：崔海军

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （ ）

       A．        B．        C．     D．

2.复平面内，复数 对应的点位于      （    ）

    A．第一象限     B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

3.直角坐标系 中， 分别是与 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 中，若 ，则 的可能值个数是（　）

 Ａ．1          Ｂ．2        Ｃ．3           Ｄ．4

4.设 的解集为（    ）

    A．    B． C． D．（1，2）

20

20

正视图

20

侧视图

10

10

20

俯视图

5. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）

Ａ．     Ｂ．     Ｃ． Ｄ．

6.已知x、y满足约束条件 的取值范围（    ）

    A．[－2，－1]         B．[－2，1]          C．[－1，2]             D．[1，2]

7.各项都是正数的等比数列 中， 成等差数列，则 的值为（    ）

A．        B．   C．   D． 或

8. 设奇函数 在 上是增函数，且 ．若函数， 对所有的

都成立，则当 时， 的取值范围是（     ）

A．    B． 或 或   C ．     D． 或 或

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

9. 一个容量为 的样本, 分成若干组, 已知某组的频数和频率分别为40和0.125, 则 的值为 __________.

10．点P（x, y）在直线x+y－4=0上，则 的最小值是           .

11．在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 和 ，顶点 在椭圆 上，则 _____．

12．关于二项式 ，有下列三个命题：①．该二项式展开式中非常数项的系数和是 ；

②．该二项式展开式中第 项是 ；③．当 时， 除以 的余数是 ．

其中正确命题的序号是　　　　　　　　　（把你认为正确的序号都填上）．

13.请从下面三题中选做两题，如果三题都做，以前两题计算得分.

（1）圆锥曲线的 （其中参数 ）准线方程是                        。

（2）如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD AB，      C        B 

已知DC=4，AD=3DC， 。点E是AD                E

上的一个动点，如果以E，C，B为顶点构成的三角形                  

是直角三角形，那么DE的长是        .                                           

                                            D                 A

（3）已知 ， ，则 的最小值为              ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2,4,6

14. （本题满分12分）已知 ．

⑴求 的值；⑵求 的值．

15．（本小题满分12分）已知a为实数，函数

   （1）若 求函数 上的最大值和最小值；

   （2）若函数 的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围.

16．（本题满分14分）月饼是一种时间性很强的商品，若在中秋节前出售，每盒将获利5元，若到中秋节还没能及时售完，中秋节之后只能降价出售，每盒将亏损3元．根据市场调查，销量 （百盒）的概率分布如下：

   由于市场风险较大，批发商要求零售商预订月饼的数量，且每年只预订一次，订货量以百盒为单位．

⑴．设订购量为 百盒时，获利额为 元．下表表示与 对应的 的分布列，请在空格处填入适当的 值，并计算相应的获利期望值 ；

⑵．预订多少盒月饼最合理？

（解答本题第⑴小题只需在下面的表格的空位中填入你认为正确的数据即可）

解：⑴．

A

C

D

O

B

E

17．（本小题满分14分）

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

⑴．求证： 平面BCD；

⑵．求异面直线AB与CD所成角余弦的大小；

⑶．求点E到平面ACD的距离．

18．（本题满分14分）

已知数列 的前 项和 满足 ，且  

   （1）求k的值；

   （2）求 ；

   （3）是否存在正整数 ，使 成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由.

19．（本小题满分14分）设A、B分别是直线 上的两个动点，并且

       记动点P的轨迹为C.

   （1）求轨迹C的方程；

   （2）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且 ，求实数 的取值范围.

参考答案

一、选择题

1．A  2．B  3．B  4．C  5．B  6．C  7．C 8．B

二、填空题

9.320

10．8 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：

11.          12。①、③

13. （1） （2） 或6    （3）

三、解答题

14．15．⑴．由 ，解得 或 = ．

   ∵ ,  ∴ , ∴ ．

⑵．原式= , 

　　　∴原式= .  

15．解：（1）                

       由 因此，函数 的单调增区间为

       单调减区间为

       取得极大值为 取得极小值为

       由

       上的最大值为f（1）=6，最小值为

   （2）

函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，

       =0有实数解.                                                         

       因此，所求实数a的取值范围是           

16．⑴．

⑵．由上表可见：预订400盒月饼时获利的数学期望 最大，因此最合理．           

17．18　方法一：

⑴．证明：连结OC

A

C

D

O

B

E

Ｍ

       ， ．

       在 中，由已知可得

而 ，  

       即

    ∴ 平面 ． 

⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为

BC的中点知 ，

∴　直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在 中，    

是直角 斜边AC上的中线，∴    

∴ ，  

∴异面直线AB与CD所成角余弦的大小为 ．

⑶．解：设点E到平面ACD的距离为 ．

    ，

    在 中， ,

    ,而 ， ．

       ∴ ，

    ∴点E到平面ACD的距离为

       方法二：⑴．同方法一．

       ⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

A

C

D

O

B

E

y

z

x

       ，

       ∴ 异面直线AB与CD所成角余弦的大小为

       ⑶．解：设平面ACD的法向量为 则

       ，

∴ ，令 得 是平面ACD的一个法向量．

       又

    ∴点E到平面ACD的距离  ．

18．解：(1)

又 ，∴                          

(2) 由 (1) 知     ①

当 时， ②

①－②，得                            

又 ，易见

于是 是等比数列，公比为 ，所以

(3) 不等式 ，即 .

整理得   

假设存在正整数 使得上面的不等式成立，由于2ⁿ为偶数， 为整数，则只能是

因此，存在正整数 .     

19．解：(I) 设P(x，y)，因为A、B分别为直线 和 上的点，

故可设 ， ．　　∵ ，

∴ ∴                           

又 ，　　∴ ．     

∴ ．　即曲线C的方程为 ．  

(II) 设N(s，t)，M(x，y)，则由 ，可得(x，y - 16) = l (s，t - 16)．

     故x = ls，y = 16 + l (t - 16)．                           

     ∵M、N在曲线C上，

∴                                     

消去s得  ．

由题意知 ，且 ，解得 ．       

又   ， ∴ ．     解得  ( )．

   故实数l的取值范围是 ( )．