古镇高级中学　梁海

空集的定义：把不含任何元素的集合叫做空集，因为没有元素，所以它谈不上互异性，无序性，但有更丰富的特殊性，如：

性质一：空集的元素个数为零个，这是空集定义的逆命题，一般定义既可以作判定也可以作性质的。

性质二：空集是作一集合的子集，这是对子集的定义（如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B的子集）的补充。

性质三：空集是任一非空集合的真子集，虽然教材中没有这个性质，但由性质二及真子集的定义，很容易得到此性质。

性质四：空集与空集相等，这是对相等集合的定义（集合A与集合B中元素是一样的，称集合A与集合B相等）的补充。

性质五：对任一集合A，都有：

性质六：空集的补集是全集。

性质七：任一集合与它的补集的交集是空集，即 。

空集有那么多特殊的性质，在平时的学习、考试中，我们要把特别的注意给特别的空集，常见的类型有如下：

一、判断题：1、 ，错。

　　　　2、 ，错，空集的元素个数是零个，不是元素为零。

　　　　3、 ，错，空集是集合，集合与集合之间的关系应该是包含或包含于。

　　　　4、 ，对，因为 不是空集，里面有一个元素，这个元素就是 。

　　　　5、 ，对，因为空集是任一个集合的子集。这个命题还可以推广到 。

在判断题中，要注意空集的特殊的性质。

解答题：例1、若集合M＝ ，N＝ ，且 ，求实数a的值。

错解： 的解是： ，

　　　 的解是： ，

因为 ，所以 ，解得

剖析：在上述解法中，很容易忽略了“空集是任一个集合的子集”，没有想到 的情况，其实当a=0时， 。

正解：当a=0时，得 ，此时 。

　　　当a≠0时，得 ,因为 ，所以 ，解得 。

故所求实数a的值为0或 或 。

例2、设集合 ， ，若 ，求实数a的值。

剖析：解题过程中由 ，很容易忽略 的情况，从而造成错误。

解： ，由 得 ，可知集合B为 。

①当 ,则 ，解得

②当 ，把x=0代入得 ，解得a=1或a=-1

  当a=1时，B＝A，符合题意，

　当a=-1时，B={0} A，符合题意。

③当B＝{-4}，把x=-4代入得 ，解得

  当a=1时，B＝A，符合题意，

　当a=1时，B＝{-12,-4},不符合题意。

综上所得， 。

在解答题中，很容易忽略了“空集是任一个集合的子集”，所以我们在遇到关于子集，真子集的问题时，都要想到空集。空集“空”而“不空”！