类比推理在空间几何中的应用

古镇高级中学　梁海

空间立体几何是一门很抽象的学科，很多定理令学生难于理解和应用，数学是联系性很强的学科，立体几何中，我们可以发现很多平面几何的影子，在教学过程中，我们可以用类比推理从平面几何来理解立体几何。所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。

一、        在概念教学中的案例

在二面角的概念教学中，我们可以类比到平面角的概念。先复习平面角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。类比到立体几何，有公共直线的两个半平面所组成的图形叫二面角。平面角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，类比到立体几何，二面角可以看成由半个平面绕着它的边缘直线旋转而形成的图形。从熟悉引出陌生，让学生更容易理解二面角。

二、        在定理教学中的案例

立体几何有很多定理是从平面几何中类比过来的，例如：线线平行传递性→面面平行传递性，两个点确定一条直线→不共线的三点确定一个平面，垂直于同一条直线的两直线平行→垂直于同一平面的两直线平行。在教学过程中，笔者都是用类比推理引导学生理解这些定理的，例如在《直线与平面垂直的性质》教学时，笔者从复习“垂直于同一条直线的两直线平行”，的推导，转到“垂直于同一平面的两直线平行”。具体的做法为：

问题1：垂直于同一条直线的两直线平行，这句话对吗?

问题2：对的话请证明，错的给出反例。

学生在初中已学过这个定理，我们可以引导他们用反证法来证明。（证明过程略）

问题3：垂直于同一平面的两直线平行，这句话对吗？

问题4：对的话请证明，错的给出反例。

证明过程，我们可以从平面的证明类比过来，都是利用反证法，而且方法是一样的。数学的发现，通常都是通过类比进行探测已知内容的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的。

三、        在解题中的案例

（2002年上海春招题）若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点 、 与点 、 ，则三角形面积之比为： . 若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点 、 与点 、 和 、 ，则类似的结论为：                     .

分析 在平面中是两三角形的面积之比，由类比推理可猜想在空间应是体积之比，要求学生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论，故猜想 。

（2003年全国高考题）在平面几何中，有勾股定理：“设 ABC的两边AB、AC互相垂直，则 ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则            .”

分析  关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体      多边形；

                   面          边

                  体 积          面 积 ； 

                  二面角        平面角

                   面 积          线段长；          … …

        由此，可类比猜测本题的答案：

本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，因此平时的教学与复习中要注意类比等思想方法的学习。

作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理的能力。在讲授新知识时，有意识地引导学生，通过类比推理，从旧知识中得出新知识，逐步学会类比推理的方法。在复习时，经常对相关的知识进行类比比较，培养学生对相关知识进行类比的习惯，从而学会把知识系统化，条理化。在解题教学中，通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解。