从分步原理到平均分组问题中的顺序浅谈

                                            小榄中学      谢宇

一到学习排列、组合这样的季节，好多人都有一样的苦恼：一遇到题目，老是觉得浑浑噩噩，分不清楚究竟是否有顺序，又是怎样的顺序，甚至做好了题目还在担心这样的顺序不会出现重复吧？出现这样的问题，主要是我们对排列组合当中“顺序”这一个最基本、最重要的问题还没有思虑清楚，今天我们就来浅谈一下排列组合中一些有关顺序的问题。

一、分步原理----顺序的产生

顺序是我们解决问题，完成事件的过程当中计划或实施步骤的先后次序。在排列组合一章中虽然没有明确的解释顺序的产生以及是依循怎样的顺序，但是从始至终都贯穿着和顺序相关的问题，自然要弄清顺序的问题还要回到最基本的两个原理。

分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事有：  种不同的方法。在这个原理中提出了在完成事情的连续过程中的“第一步，第二步……第步”，它不仅表示了完成这个事情是分步骤完成的,还明显的表示了这些步骤有一种先后次序，这就是一种顺序关系。“第一，第二……第”其实是我们生活中确定的具体的生活顺序，是我们将这些生活中的顺序确定下来后，计划或执行时便抽象出来统称“第一步，第二步……第步 ”，而当你的思考中出现了这些字眼的时候，也就表明你所做的事情是分步骤有顺序的，运用的是乘法原理。

例1．      从五个工人中，选三个分别上明天的上午班、下午班和晚班,有多少种选法?

    分析：在生活中我们普遍是按照上午班、下午班和晚班这样一个顺序来安排上班工人，这就决定了第一步，是先选一个人上上午班，五种方法；第二步，是再选一个人上下午班，，四种方法，第三部步是选晚班的人，三种方法。所以安排工人上班共有种方法。

如同例1，在实际的生活问题中可能后面的步骤本来就有可能要受到前面步骤的限制，这时顺序就是唯一确定的；有时各步骤之间没有必要的限制关系，先完成谁都可以，这个时候就需要我们事先计划好顺序关系。

二、有序排列-----顺序的确立

从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。从排列的概念中出现了顺序的字眼，但是“一定的顺序”表示的是什么样的顺序呢？我们遇到的排列问题一般都是出现两类对象，他们彼此之间都可能没有明确的顺序，但要对两类对象进行某种搭配。若是他们相互间随意进行搭配，很容易造成混乱，为了完成事情，我们需要按照一定的制度也就是“一定的顺序”来进行，于是我们将问题中两类都无顺序的对象中的一类，按照我们人为确定的顺序固定下来，作为完成事情分步的依据，再用另一类对象来适应这种先固定下来的顺序。我们举例说明。

例2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？

    分析：这个问题中就究竟土地和蔬菜都是不同的，怎么搭配？土地和蔬菜都没有顺序，那么按照什么顺序解决问题？这个问题实际上就是在不同土质的3块土地上各种植一种蔬菜，我们把3块土地分别标号为1，2，3号土地，然后按照土地的序号分3步种植不同的蔬菜，蔬菜的种植是按照土地事先确定的一种顺序来来确定的。当然土地的顺序是我们人为事先确定的，当然确定的顺序可以不同，可以像刚才分析中按照123号土地的顺序来种植蔬菜，也可以反过来按照321号土地的顺序来，甚至是可以按照213号土地的顺序来做。但是分步的顺序一旦确定下来，中途就不能进行改变，以免造成重复错误。

三、平均分组----有序与无序

在平均分组问题中，为什么结果是要除以组数的排列数呢？怎么在除以组数的排列数之前是有顺序的呢？我们先从弄清楚下面的问题。

例3. 将6本不同的书平均分成三组发给3人。

解：我们按照3个人的顺序来进行分书，第一个人有种分法，第二个人有种分法，第三个人有种分法，根据乘法原理得分组发放方法有种方法。

例4．将6本不同的书平均分成三组。

这个问题学生常常也是这样的结果：其分组的方法是种。一询问他是怎么得到这个结果的，他自然回答到：第一步为从6本书中取出2本，第二步从剩下的4本中取出2本，第三步剩下的2本就是第3组，就平均分为三组了。再问他，将这6本书平均分成3组，这3组书是有顺序的吗？回答没有，再问你分的过程中“第一步，第二步，第三步”表示是否有顺序呢？恍然大悟，在不知不觉中,你习惯性的进行了第一,第二…，这样的步骤,但是这样的排序没有象例1种那样的现实顺序相对应。一旦你第一，第二…，这样做了就表示你分出来的组是有顺序的，相当于编了号码是有区别的了。所以最后要除以组数的排列数来抵消这种顺序。

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