小议在解题中应用分类讨论思想

 

中山市桂山中学——罗东荣

 

一、知识整合

    1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

    2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

    3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。

    4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

    5.含参数问题的分类讨论是常见题型。

    6.注意简化或避免分类讨论。

二、例题分析

例1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（    ）

      A.                        B.

      C.             D.

分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,

    当a=0时，直线过原点，此时直线方程为；

    当时，设直线方程为，方程为。

 

例2．

    分析：

    因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。

解：

   

   

    这与三角形的内角和为180°相矛盾。

   

 

例3.已知圆，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。

    分析：容易想到设出直线的点斜式方程再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时；（2）斜率不存在。

解：（1）斜率存在时，设出直线的点斜式方程即

因为直线与圆相切，所以，解得

所以，直线方程为3x－4y+10=0

（2）斜率不存在，直线方程为x=2

此时直线与圆相切

综上所述，所求直线方程为3x－4y+10=0或x=2

 

例4.

    分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。

    解：

   

   

 

例5.

    分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x分类。

    解：

   

         

 

例6.

    分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。

    解：

   

   

        

   

    （Ⅰ）

    （Ⅱ）

    （Ⅲ）

    综上所述，得原不等式的解集为

；；

；；

。

 

例7.已知等比数列的前n项之和为，前n+1项之和为，公比q>0，令。

    分析：对于等比数列的前n项和S_n的计算，需根据q是否为1分为两种情形：

   

    解：

       

 

例8.

    分析：

    解：（1）当k=4时，方程变为4x²=0，即x=0，表示直线；

    （2）当k=8时，方程变为4y²=0，即y=0，表示直线；

   

    （Ⅰ）当k<4时，方程表示双曲线；     （Ⅱ）当4, 时，方程表示椭圆；

    （Ⅲ）当k=6时，方程表示圆；             （Ⅳ）当6时，方程表示椭圆；

（Ⅴ）当k>8时，方程表示双曲线。

 

例9. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？

    分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：

（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。

    解：

 

 

例10. 设a>0且，试求使方程有解的k的取值范围。

解：原方程可化为

    令

    则对原方程的解的研究，可转化为对函数图象的交点的研究

    下图画出了的图象，由图象可看出

    （1）当直线时，与双曲线无交点，此时即当时，原方程无解；

    （2）当直线图象与双曲线渐近线重合，显然直线与双曲线无交点，即当k=0时，原方程无解；

    （3）当直线的纵截距满足，即

时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。

    综上所述，当

 

三、总结提炼

分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。

如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：

（1）“方程有实数解”转化为时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为；

（2）等比数列的前项和公式中有个别情形：时，公式不再成立，而是。

 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。

(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。

 

 

下载电子文档