巧求不等式表示的平面区域

                    中山市五桂山学校  陈粤怀

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     怎样确定Ax+By+C∨0 (系指Ax+By+C>0或者Ax+By+C<0) 的平面区域,教材采用的是Ax+By+C=0同一侧的所有点,把其坐标(M, N)代入Ax+By+C,所得的结果符号相同的原理，事先任取一不在直线Ax+By+C=0上的点M（x₀, y₀）,再计算A x₀,+B y₀+C的值，然后由A x₀,+B y₀+C的符号以及点M（x₀, y₀）与直线Ax+By+C=0的位置来确定Ax+By+C∨0的区域。这种方法固然好，但在实际操作时往往比较麻烦，耗时较多，特别是在找不等式组所表示的平面区域时，学生更是头痛，许多学生往往由于找区域时出错，导至全题失分，实属可惜，为此，笔者介绍另外两种较为简易的方法解决这个问题。

一。判断方法

1.由X的系数符号及Ax+By+C的符号确定Ax+By+C∨0（A≠0）的左右区域。

原理：同号得右，异号得左。

即A与Ax+By+C同号时所表示的平面区域在Ax+By+C=0的右边，反之亦然。

       A与Ax+By+C异号时所表示的平面区域在Ax+By+C=0的左边，反之亦然。

2.由Y的系数以及Ax+By+C的符号确定Ax+By+C∨0（B≠0）的上下区域。

   原理：同号得上，异号得下。

即B与Ax+By+C同号时所表示的平面区域在Ax+By+C=0的上边，反之亦然。

      B与Ax+By+C异号时所表示的平面区域在Ax+By+C=0的下边，反之亦然。

注(1). 当A=0时，则由于Ax+By+C=0是一条平行于Y轴的直线，区域只可能在Ax+By+C=0上下,故只要由B及Ax+By+C的符号确定上下区域即可.

  (2). 当B=0时，则由于Ax+By+C=0是一条平行于X轴的直线，区域只可能在Ax+By+C=0左右,只要由A及Ax+By+C的符号确定左右区域即可.

  (3). Ax+By+C的符号确定方法: 看Ax+By+C∨0 中符号∨的方向. Ax+By+C＞0(≧0)视Ax+By+C为正, Ax+By+C＜0(≤0)视Ax+By+C为负.

 

二．例题

例1：不等式x-2y+6＞0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的

A．右上方       B.右下方     C.左上方       D.左下方

 

解:因X系数1和x-2y+6都是正(由于x-2y+6＞0,视x-2y+6为正),同号.故其所表示的区域在x-2y+6=0的右方.

   因Y系数-2和x-2y+6一负一正(由于x-2y+6＞0,视x-2y+6为正),异号.故其所表示的区域在x-2y+6=0的下方. 综上所述题应选B.

例2.不等式3x+6≤2y表示的平面区域是

                                   

A                 B.                  C                        D

          

解:化成3x-2y+6≤0. 因X系数3和3x-2y+6一正一负(由于3x-2y+6≤0,视x-2y+6为负),异号.故其所表示的区域在3x-2y+6=0的左方.

   因Y系数-2和x-2y+6两上都是负(由于3x-2y+6≤0,视x-2y+6为负),同号.故其所表示的区域在x-2y+6=0的上方.

   综上所述此题应选A.

例3.不等式组   表示的平面区域是

                          

 

A                            B                  C                        D

                                                                                                                                                                                                       解:区域在x-3y+6=0的右下方(包括边界),排除C,D.  同时也在x+2=y的左上方(不包括边界),排除A.  故选B

 

例4.若M(x₀,y₀)是x-2y=0在上方(不在边界上)的某点,则

   A  x₀-2 y₀<0                  C  x₀-2 y₀>0

   B  x₀-2 y₀≤0                  D   x₀-2 y₀≥0

 解:上方.说明Y的系数与x-2y同号,由于Y系数-2是负数,故说明 x₀-2 y₀<0,选A

 

例5.若点M(x,y)是2x+By=3在下方某点的坐标,且2x+By≤3.   则B的符号是______.

解：依题意,2x+By≤3的区域在直线2x+By=3的下方.说明B与2x+By-3异号，而2x+By-3是负的（因2x+By-3≤0，可视2x+By-3为负）。所以B是正数。

三．练习

1．画出下列不等式表示的平面区域

 

⑴ X+Y≤2      ⑵  2X-Y＞2    ⑶  Y≤-2     ④  X＞3

 

2．画出不等式组 表示的平面区域

 

3．画出（X+2Y-1）（X-Y+3）＞0表示的平面区域

 

4．画出 1≤X+Y≤3的平面区域

5．不等式组  所确定的平面区域记为D，若点（X，Y）是区域D上的点，则此点必在X-Y-2=0的

A．左上方            B.左上方            C.右上方         D.右下方

                                 

 

 

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