源于教材   高于教材

——2008年高考广东卷数学（理科）第21题赏析

小榄中学 广东省中山市小榄镇 528415

李琨

【摘要】

2008年高考广东理科数学第21题，看似很难，实际上它的解题思路与方法完全来自教材。这显示了高考数学试卷的一贯风格：源于教材，高于教材。

【关键词】

高考；理科数学；结合教材

2008年高考广东数学理科压轴题第21题，是阻挡很多学生的拦路虎。很多学生认为此次广东理科数学考试很难，很大程度是因为此题拔高了整张试卷的难度。很多理科考生认为此题除了第一问以外，其他问题根本无从下手。其实，此题所涉及的内容与解题方法，完全来自教材，可以说是一个源于教材而高于教材的好题，体现了命题人的良苦用心，是一个真正考能力的题。为了更好的分析此题，我们可以先看一看教材中的两道题目，把它们作为2008年高考广东理科数学压轴题的引子：

1．先看教材中的两道练习题

题1：（人教A版必修⑤第69页第6题）

       已知数列中，，对于这个数列的通项公式作一个研究，能否写出它的通项公式.

       解：因为    

              则      

              设      

              则             得 或

              当时，有

                         

              设      

              则       ，且

              所以，数列是一个等比数列，

              则       ，即

                             …………………………………………………………①

              当       时，有

                             

              设      

              则       ，且

              所以，数列是一个等比数列.

              则       ，即

                       …………………………………………………②

              联立①，②得

                             

              得

                             

                  

       采用待定系数法解答本题，解法思路清晰，学生容易掌握，且此解题方法具有推广价值，为什么呢？因为题给条件中的告诉大家可以用待定系数法，从而得到一个或几个等比关系。形如的条件都可以运用此法。

题2：（人教A版必修⑤第61页第4题）

       求和：（1）

               （2）

               （3）

       解：（1）当时，

                

               当时，

               

                

              （2）

                      

              （3）设

                     则

                  得

                      

                当时，由①得

                      

                当时，由③得

                      

       此题体现了分组求和与错位相减求和的解题方法。分组求和应该是一个重点解题思路，老师应该在数学课上专门针对练习过；而错位相减法则更加重要，它在等比数列前项和的公式推导上起了决定性作用，是一个很重要的解题思路。当然，除了能灵活运用这两个解题方法以外，还要注意分类讨论，分析出特殊情况，这是考验考生的能力的关键。

       以上两题都是源于教材，也是上课时必讲的重点内容。作为理科生，不仅要好好学习和掌握以上解题方法，更要会灵活运用，方法结合。下面，我们一起来学习和研究2008年高考广东理科数学第21题，看看此题与教材到底有什么联系：

2．高考题及解答过程

2008年高考广东数学（理科）试卷第21题：

设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．

（1）证明：，；

（2）求数列的通项公式；

（3）若，，求的前项和．

       解：（1）由求根公式，不妨设，得

     

（第一问答案运用了一元二次方程求根公式来证明，笔者认为此解法实在是多此一举。运用初中学习的韦达定理可一步得出。当然，答案中的过程实际上就是韦达定理的推导过程，不过，既然韦达定理已经作为一个定理使用了，为什么不可以直接运用在解题过程中呢？）

（2）设，则，

由得，

消去，得，是方程的根，

由题意可知，

①当时，此时方程组的解记为

即、分别是公比为、的等比数列，

（此处便运用了形如的待定系数法，立刻分离出两个等比数列。接下来可以立即求各自的通项公式，为求打下基础）

由等比数列性质可得,,

两式相减，得

，，

，

，

即，

②当时，即方程有重根，，

即，得，不妨设，

由①可知

，，

即，等式两边同时除以，得，即

数列是以1为公差的等差数列，

,

综上所述，

（此处注意当时这个特殊情况，是考量考生数学思维与解题能力的关键点）

（3）把，代入，得，解得

（此处便运用了分组求和与错位相减法，而且数字并不大，难度也不高，关键是考生掌握运用分组求和的时机，还有错位相减法的运用条件）

       从解答过程看，如果学生熟练掌握了教材中的习题：题1、题2，那么这个高考题，学生也许就会感到不难了。

3．对于此题的几点反思与探究

       从整个此题的解答过程看，题目难度中等偏上，考察了学生对于待定系数法、分组求和与错位相减法等等几种特殊的解题方法，并有一定的结合和升华。另外，此题对于考生分类讨论能力是一个考验，同时对考生的整理思路的能力是个检验。总之，这是一道看似高难，实可战胜的好题，既源于教材，又高于教材，对于高考数学命题方向有一个指导性的作用。

       通过对此题的分析，我们在今后的教学方面要注意基础的抓紧，基本解题方法的重点讲解与练习，适当的反复地练习重点解题方法与思维，巩固和提高典型题型的掌握程度。这样做，比起对于茫茫题海的征讨，要事半功倍得多。只有基础打牢，学生的数学技能才有本质的提高，数学成绩才会有提高的可能。

致谢兰小和老师。

【参考文献】

[1]普通高中课程标准实验教科书《数学》必修⑤.北京市：人民教育出版社，2007年.

[2]《2008年普通高考广东卷数学（理科）试题》及其参考答案.