新课标下的数学建模教学浅谈

仙逸中学匡唐松

〖本文摘要〗：数学作为一门基础学科，是人类用来了解自然和社会、改造自然和社会的学科，是一门不断积累发展充实的学科。当前,我国数学教育改革以“数学素质教育”为口号，以“问题的解决”为突破口，收到了明显的效果。新教材也把培养学生应用数学知识解决问题的能力提高到一个新的高度。应用性问题的教学被放到一个重要的位置，而应用性问题的解决离不开数学建模。在教材改革的形势下，加强数学建模教学势在必行。本文就如何在新教材下进行数学建模教学谈谈自己的一些看法。

一、数学建模在新教材中的地位

1、从新课标下的指导思想来看, 教材修订的指导思想是：遵循“教育要面向现代化，面向世界，面向未来”的战略思想，贯彻教育必须为社会主义现代化建设服务，必须与生产劳动相结合，培养德、智、体、美全面发展的社会主义事业的建设者和接班人的方针，以全面推进素质教育为宗旨，全面提高普通高中教育质量。

教材修订的目的除了让学生学会继续深造所必需的数学基本知识、基本方法、基本技能外，更重要的是让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中的问题。

2、从教材内容的改变来看，现行的数学教材进行了重大的改革，与旧教材对比，新教材比旧教材增加了不少新的内容。例如：必修中的平面向量、线性规划、概率，选修中的统计、导数与微分、概率与统计、积分等，同时还增加了不少“阅读材料”、“实习作业”、“研究性课题”。特别是新增的“阅读材料”、“实习作业”、“研究性课题”，成为新教材的一道亮丽风景，并且安排了相应的课时，让学生把课堂上掌握的理论知识有时间去实践，把知识应用到现实生活中，解决实际问题。

3、从新教材编排意图来看，以后数学对学生的考查包括高考的命题，必会逐渐增加应用方面的知识。

二、数学建模的意义

1、促进理论与实践相结合，培养学生应用数学的意识

现在的学生，从小学到初中再到高中，经过十年来的数学教育，他们懂得不少的数学知识，但是接触到实际问题常常表现得束手无策，灵活地、创造性地运用知识解决实际问题的能力较低。而数学建模的过程，正是实践 ——理论——实践的过程，是理论与实际有机的相结合，加强数学建模的教学，不仅能使学生更好的掌握数学知识，学会数学的思想、方法、语言，也是为了学生树立正确的数学观，增强应用数学的意识，全面认识数学及其与科学、技术、社会的关系，提高分析问题和解决问题的能力。

2、数学建模是培养学生各种能力的有效途径

数学建模教学体现了多方面能力的培养：（1）翻译能力。能将实际问题用数学语言表达出来，建立数学模型，并能把数学问题的解用一般人所能理解的非数学语言表达出来；（2）运用数学的能力。表现在能用数学工具对所建立的数学模型进行处理；（3）交流合作能力。数学建模中常常是小组分工合作、密切配合、相互交流、集思广益，这种互相合作的精神是社会生活中极为需要的；（4）创造能力。数学建模没有现成的答案，也没有现成的模式或通式，建模的过程有较大的灵活性，建模的结果一般说来只有最优解答，而非标准解答。因此，数学建模本身就给学生提供一个自我学习、独立思考、认真探索的实践过程，提供了一个发挥创造才能的条件和氛围。通过建模，学生要从貌似不同的问题中窥探出本质特性，这样，有助于培养学生的想象力和洞察力。

3、发挥了学生的参与意识，体现了学生主体性

强化数学建模的教学，可极大地改变传统的教学方法，它一改过去满堂灌模式为讨论班的方式，教师扮演的是教学的设计者和指导者，学生是学习过程中的主体，师生处于平等地位。由于要求学生对学习内容进行报告、答辩或争辩，因此极大地调动了学生自觉学习的积极性。根据现代建构主义学习观，知识不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由学生依据自己已有的知识和经验主动地加以建构。所以数学建模教学，符合现代教学理论，必将有助于教学质量的提高和素质教育的全面实施。

三、教学对策——立足教材加强建模教学

1、打好基础，强化意识

对于一个繁杂的实际问题，要能从中发现其本质，建立其数量关系，转化成数学问题，没有扎实的数学基础知识、基本技能和数学思想、方法是不可能的。因此，进行建模教学首先必须抓好数学知识的系统学习，打好基础。但是，我们也看到，解决常规的问题能力强，不见得解决实际问题的能力就强，从掌握知识到应用知识不是自然形成的。新教材在这方面作了大量的改进，每一章都以实际的应用问题来引入，我们的教学更可以以此为突破口，大胆进行教学改革。教学中更要注意从实际问题引入概念和规律，强化建模意识，用数学模型的方法解决实际问题。

2、立足教材，挖掘教材

数学建模的教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，让学生学习到数学的精神、思想和方法。

（1）根据教学内容、进度，及时提出相应的建模问题。

例如讲完不等式的“比较法”后，可以给学生提出如下问题：

4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格大于24元，则2个茶杯和3包茶叶哪个更贵？

分析：这是一个比较容易理解的实际问题，设每个茶杯的价格为x元，每包茶叶的价格为y元，则原实际问题转化为在条件：下，比较2x与3y的大小问题，即作差2x-3y。

这样通过生活中实际例子，更能促进学生对比较法的理解。

（2）注意对教材中原题的改编

对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互换题设条件结论，结合拓广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题，可依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性原则，编拟出有实际背景或有一定价值的建模问题。按照这种方式开展教学活动，可使学生受到如何将实际问题数学化、抽象为数学问题的训练。

例：如图，三个相同的正方形相接，求证α+β=45º。（教材第一册（下）复习参考题四第17题）

此题在新老教材中都有出现，并在初中的《几何》也有出现，可见其重要性。以此题为原型，可编拟如下一道应用问题：

在距电视塔底部100米，200米，300

米的三处，观察电视塔顶，测得的仰角之和

为90º。那么电视塔的高度是多少？

只要有课本题为基础，就一定得到电视塔的高度为100米，否则三仰角之和要么大于90º，要么小于90º。

（3）注意总结教材中的建模素材

从广义讲，一切的数学概念、公式、方程式和算法系统等都是数学模型。可以说，数学建模的思想渗透在中小学数学教材中。因此，只要我们深入钻研教材，并从中提炼，就能找到数学建模的素材。

例如：①最大最小值问题，包括面（体）积最大（小）、用料最省、费用最低、效益最好等模型。②平均增长率问题，包括产量、繁殖、资金、利率、衰变、裂变等，可以建立函数或方程模型。③测量问题，可建立解三角形模型。行程、工程浓度问题可建立方程（组）不等式（组）模型；④计数问题，可建立排列组合问题。在讲到对应的问题时，要指导学生或直接给学生及时加以总结。

3、分类研究，归纳模型

应用性的数学问题，都能找到与之对应的数学模型，在教学中，指导学生加以总结，可以深化对应内容的学习，增加学生的创新意识和解题实践能力。我们常见的数学模型有：

（1）函数模型

应用性问题大多是“最优化”问题，往往与函数最值有关，因此某些问题可考虑构造函数模型。

例：旅社有100张普通客床，若每床每夜收费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出。依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租金多少元？

【建模分析】投资少而所获租金最多，即就是租出的床位要少而获得的利润最大。

解：设每床每夜提高租费2x（xN）元，则可租出（100-10x）张客床，设可获利润y元，依题意得

y=(10+2x)(100-10x) 即　y=-20(x-)²+1125

xN ∴x=2或x=3时,y_max=1120(元).

当 x=2时,需租出床80张;当x=3时,需租出床70张.

∴x=3时的投资小于x=2时的投资.

故每张床每夜提高租费6元时,既投资少又能获得最高租金.

（2）不等式模型

例:周长为L的扇形中,半径为多少时,扇形的面积最大?

【建模过程】1、建立半径与面积的函数关系式（运用扇形的面积公式）；2、构建利用重要不等式的条件

解：设半径为r，则扇形的弧长为（L-２r）.扇形的面积

S(r)= （L-２r）r=(L-2r)2r (0)

2r>0, L-2r>0 ∴2r(L-2r)≤[]²=

当且仅当2r=L-2r,即半径 r=时,扇形有最大面积

除以上两种数学模型外，还可以建立数列模型、几何模型、三角模型、复数模型、排列组合模型等。

4、走进生活，强化应用

日常生活是应用问题的源泉之一。让学生走进生活，多开展实践活动，把它作为建模教学不可分割的部分。在新教材中，这一点完全可以做到，“实习作业”、“研究性课题”都安排了具体的课时，有了时间作保证,学生可以体验应用数学于生活的感受。

例如,讲研究性课题“分期付款中的有关计算”时，由于当时正碰上老师的房改期，我便发动学生分小组到房地产和银行了解情况，并给出一些具体的任务：（1）了解银行计算利息的方法，特别是复利计算利息的方法；（2）了解买房的付款方式；（3）如果买一套新房需20万，首期付6万，按10年分期付款，每月应付多少？如何计算？（4）假设自己买一套房，写出自己的付款方法，要考虑到哪些实际问题？学生对自己以后有可能涉及到的问题的反应很热烈，大部分都能亲自去了解，知道分期付款的方法，讲起新课学生对这部分内容容易接受多了；讲‘解斜三角形’这部分，教材安排了3课时实习作业：测量池塘两侧、小河两岸的两点间距离；老师还可以结合情况，测量学校建筑物的高度；测量发射塔的高度等等。

5、综合应用，培养能力

针对3+x高考模式，进行“综合科目”考试，数学建模无疑将起重要作用。综合能力测试知识交叉、渗透较广，但命题时往往以某一学科为背景，交叉渗透其他学科知识，具有多样性、复杂性、综合性。利用建模的思想方法在解题过程中，根据客观条件的发展和变化，往往可机智灵活地寻找到解决问题的新方法，有利于创新思维的培养。

例：给出下列一系列化合物的分子式：C₆H₆, C₁₀H₈, C₁₄H₁₀, ….则该系列化合物中，分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近（）。

A.95% B.96% C.97% D.98%

分析：观察系列化合物分子式的下标易知分别是公差为4和2的等差数列。由等差数列的通项公式a_n=a₁+(n-1)d,便可得它的通式为C_4n+2 H_2n+4

由于这个系列化合物中含碳元素,氢元素的个数递增,原子量分别是12和1,故分子中含碳元素的质量分数的最大值为

==96%.

故本题选B.

该题表面上是一个化学题,但解题的关键是建立数学模型。

在数学建模的教学过程中,要提高学生的建模能力不是一朝一夕的事, 而是要经过长期的积累。在这过程中还要注意两点:

1、老师要做个有心，用心去发现我们周围的建模素材；

2、在教学过程中要不怕花时间。

以上是本人对数学建模教学中的一点体会和做法,希广大同行不吝赐教。

参考文献《中学数学教与学》