高中新课标数学必修③与必修④教学体会

广东省中山市东升高中（528414）  高建彪（0760-6853660）

摘  要：

本文结合本校几年以来参与高中数学新课程标准实验教学的切身体会，从教材顺序、教材内容、教学组织、教学问题等方面，介绍了关于高中新课标数学必修③与必修④这两个模块内容的教学经验. 面对课标实验教学，老师们感觉到困难重重，如果都能互相共享教学资源，积极交流教学经验，相信能达到良好的实验效果. 希望此文能抛砖引玉.

关键词：课程标准  课改实验  把握教材  教学体会

从2004年9月开始，广东、海南、宁夏、山东四省区率先进行普通高中课程标准的实验教学，之后又有江苏、天津、辽宁、安徽、福建、浙江六省市陆续进入实验. 本人作为参与普通高中课程标准第一批实验的老师，有责任总结出课标实验教学中的一些体会. 下面结合人教A版《普通高中课程标准实验教科书.数学3（必修）》（以下简称《必修3》）及《必修4》两册教材，与各位同仁探讨高一年级第二学期数学新课标教学中的若干问题.

一、教材顺序安排的讨论：

1. 先上必修③，还是必修④？

从大纲教材过渡到课标教材，参与实验的老师最不满意的是数学新课程中的模块化结构，认为打乱了高中数学知识的体系，所以教学中出现各种打乱模块顺序的情况.

我们在高一年级第一学期完成必修①与必修②的教学之后，新学期又面临着先上必修③，还是必修④的激烈讨论. 在讨论中，部分老师认为先上必修④，理由主要是两条：必修③的教学比较陌生；必修④三角函数内容在大纲教材体系中比较提前，且内容重要.

其实，内容陌生只是老师单方面的原因，对学生来说，两个模块的内容都是新知识，我们的教学不能因为教师的原因而打乱实验顺序，一切应从学生的实际情况来考虑. 我校在连续几年的实验中，都是严格按照模块顺序组织教学，认为先上必修③有如下优势：

（1）遵循了课程标准实验的原则，不以主观意识随意打乱模块实验的顺序，也没有给数学教学带来混乱的感觉.

（2）重视必修③中算法、统计、概率的教学. 我们先用大约7周的时间完成必修③的教学，本模块的内容在这7周内都得到了强化训练，而不是放在必修④之后，然后跑马观花过一遍. 认真学好必修③的内容，可以把算法、统计、概率思想融入今后的学习中.

（3）高效率地完成必修③的教学之后，有足够的时间进行必修④中重点内容的训练.

（4）学生学习必修③的效果强于必修④. 大部分学生感觉必修③的学习较为容易，原因是题型的变化不太多. 相反，必修④题型变化较为灵活，学生感觉棘手.

（5）在学期结束前的期末复习时，由于必修④的内容刚刚结束，复习重点可以放在必修④的强化训练及必修③的重点题型归类上，从而可以用较短的时间组织好期末复习.

2. 必修④中三角恒等变换是否提前？

在大纲教材中，是先学完三角函数及三角恒等变换后，再进入平面向量的学习，然后是学习解三角形. 而课标教材中，学习三角函数的知识之后，进入平面向量的学习，然后是学习三角恒等变换及解三角形（必修⑤中）. 基于以上顺序的对比，部分老师提出是否可以把三角恒等变换安排在平面向量之前学习，更突出三角内容的连续性和整体性.

个人认为，课标教材中这样安排顺序，其主要意图是突出三个方面，即三角函数的函数特征；向量工具的重要性；三角恒等变换及解三角形是平面向量的应用. 我们不能因为大纲教材如此安排，就打乱课标教材的实验顺序，而应当认真体会课程标准的精神，强化向量的工具特征，认真贯彻用向量方法解决数学问题的基本思想. 结合向量的物理背景和几何背景，扎扎实实学好向量的相关知识，并利用向量工具解决若干问题. 例如，向量在物理、几何中的应用，用向量方法推导两角差的余弦公式等.

二、教学内容处理的建议：

1. 算法章节：

新课标中算法内容的引入，是适应信息技术高速发展的需要，算法体现了通用化、机械化、程序化等特点，在算法教学中的几点建议如下：

（1）同时走好算法表示的三条路，即自然语言、程序框图、算法语句. 在教学中，可以结合具体的算法实例，分析用自然语言表示算法的步骤，绘制相应算法的程序框图，并编写相应框图的算法程序. 注意三条途径的目的都是体会其中的算法思想.

（2）剖析清楚教材中的几例典型算法实例. 例如解一元二次方程、二元一次方程组，质数的判定，按大小顺序输出三个数，1～100的累加，二分法求方程近似解，分段函数的求值等.

（3）学习程序框图时，先结合一个流程图的实例，认知基本的程序框及功能，并分析出其中的逻辑结构. 各种逻辑结构（顺序结构、条件结构、当循环结构、直到循环结构）的学习，都应当配合一个具体的例子来逐步分析，特别是循环结构，要一次次循环进行分析，让学生彻底理解框图的功能，提高逻辑思维能力.

（4）可以根据实际情况调整教材中框图的实例. 我们在教学中，感觉必修③第5页的框图引例的理解有一定难度，从而结合前面所练的自然语言表示的算法，用框图表示出来，让学生认知框图符号与逻辑结构. 参考的算法实例如下：

例1 任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积；（教材P₄）

例2 任意给定一个正整数n，试设计一个算法判断n是否为偶数；（教材P₃例1改编）

例3 设计一个计算1+2+…+100的值的算法. （教材P₉例5提前）

（5）大胆试验，程序框图与算法语句同步教学. 我们在分析顺序结构的框图时，讲授算法语句中的输入语句INPUT、输出语句PRINT和赋值语句. 在分析条件结构框图时，讲授条件语句，即IF-THEN语句. 在分析两种循环结构的框图时，讲授两类循环语句，即WHILE语句与UNTIL语句. 每种类型的语句，都配以相应的程序框图进行流程分析，强调语句的格式及功能，结合几个典型实例进行算法分析、框图设计、程序编写等，三者的配合训练，才能更好地加强、巩固算法知识.

（6）典型算法案例（辗转相除法与更相减损术、秦久韶算法、进位制）的学习，都必须奠基在其历史背景之上，讲清楚具体的解题步骤，剖析如此解题的原理，在熟练解题的基础上，再结合框图或语句，从算法思维的角度进行分析.

2. 统计章节：

统计是研究如何收集、整理、分析数据的科学. 必修③第二章的学习过程，实质就是学习如何逐步解决一个实际问题，我们先认识随机抽样的重要性，并掌握随机抽样的三种类型，通过科学的抽样得到样本，进一步研究如何用样本的频率分布去估计总体分布，又如何用样本的数字特征估计总体的数字特征. 在样本数据的分析过程中，发现一些变量之间有一定的规律，例如两个变量的线性相关等.

统计部分的教学，我们需遵循以上认知规律，密切联系现实生活来渗透统计方法与思想，强化抽样方法的步骤及区别、频率分布直方图的五步曲（极差→组距→分组→列表→画图）、数字特征（众数、中位数、平均数、标准差、方差）的计算、线性回归中的数形结合思想及计算器的配合使用. 教学中重点训练的一些题型是：关于分层抽样的数字客观题、频率分布直方图的研究、标准差与方差的实际应用、线性回归模型的求解等.

3. 概率章节：

概率是研究随机现象规律性的科学. 对比大纲教材，课标教材在概率部分有较大的区别. 在必修③概率一章中，利用随机事件的频率给出概率的定义，并学习概率的基本性质及两个概率模型（古典概型、几何概型）. 我们在教学中需注意如下几个方面：

（1）坚决不补充排列与组合. 必修③概率的计算，不是建立在排列组合的计数基础上，而是通过逐一列举来进行计数，或者由简单的分类加法计数方法及分步乘法计数方法来进行计数，两种计数方法也不必上升到计数原理的学习，结合简单的实例渗透计数方法的学习即可. 补充排列与组合，违背了课标的精神，淡化了概率思想，也加重了学生的学习负担. 排列与组合只是选修2-3的内容，以后选修文科的学生根本不学，概率的学习只是要求达到必修③概率一章的水平.

（2）强调概率意义的理解. 教材中呈现了广泛的实例，例如购买彩票中奖的可能性、游戏的公平性、决策中的概率思想、天气预报的概率解释、生物试验中的发现、遗传机理中的统计规律等，通过这些实例阐述了概率的意义，这部分内容往往却被教师轻描淡写的一带而过. 我们在教学中，应当认真剖析这些实例，让概率的意义在学生脑海中根深蒂固，从而激发学生进一步学习概率知识的欲望.

（3）在古典概型的基础上，类比学习几何概型. 可以从模型特征的共同点与不同点，计算公式及求解步骤等方面进行比较. 特别注意古典概型的计算是以简单计数为基础，几何概型的计算则需运用数形结合思想.

本章教学中，重点训练的一些题型是：由概率性质进行概率计算、古典概型的概率计算、几何概型的概率计算. 常常融合的实际背景是抛掷硬币、摸球、质检、会面等，渗透的数学思想则以分类讨论思想、数形结合思想为主.

4. 三角函数章节：

对比大纲教材，课标教材中的“三角函数”一章，突出了三角函数的函数特征，即函数是描述客观世界变化规律的数学模型，可以从实际背景、解析式、性质、图象、应用等方面进行研究. 在教学中注意以下问题：

（1）强化单位圆的作用，特别是借助单位圆上点的坐标来定义三角函数，这与大纲教材中用角的终边上点的坐标来定义三角函数有所不同. 由单位圆定义三角函数，可以更好的表现出三角函数的周期性，为以后利用单位圆研究三角函数的图象与性质奠定基础.

（2）按照课标要求，不要擅自补充内容. 大纲教材中，三角函数有六个，同角关系式有八个，而课标教材中，三角函数只需要学习正弦、余弦、正切，同角关系式也只有两个，即 、 . 我们在本章教学中，只是拓广了三角函数的定义，在学习单位圆定义三角函数的同时，补充了如何通过角的终边上点的坐标来定义三角函数，并比较了两种定义.

（3）加强三角函数模型的应用. 教材中把三角函数模型的简单应用单独成为一节内容，以四个例题为载体呈现出来，我们在教学中对此进行了适当的处理，将例2移到前面三角函数的图象与性质中进行练习，删去例3，重点训练例1、例4的两种题型，强化了给图求式及数学应用建模的思想. 认真分析例4，它实质是由统计知识得到数据，作出散点图并观察变化规律，然后选择适当的模型进行拟合，再应用所得模型解决实际问题.

5. 平面向量章节：

从向量的物理背景与几何背景出发，学习向量的概念及运算，然后把向量作为重要的工具，应用解决一些实际问题，特别是物理中的力学问题和几何中的证明与计算. 关于向量的教学，有如下几点建议：

（1）通过数的类比来学习向量. 例如向量的运算及运算律与数的运算及运算律的类比，向量的坐标表示与在数轴上的点表示数的类比. 这种类比思维的训练，提高了解答创新思维问题的能力，为以后理科学生学习空间向量铺垫了类似的学习模式.

（2）突出数形结合思想的渗透. 向量运算的几何意义，向量方法计算长度、角度，应用向量证明垂直、平行等问题，都是渗透数形结合思想的载体.

（3）正确处理线段定比分点的坐标公式. 在大纲教材中，这一公式是重要的学习内容，而课标教材中，只是把它作为平面向量的一个应用，因而降低了要求，我们只需利用向量工具推导出定比分点的坐标公式，不必要求记住公式并用来解决问题.

6. 三角恒等变换章节：

对比大纲教材，三角恒等变换降低了一些要求，不再要求利用积化和差、和差化积、半角公式进行复杂的恒等变形，而只是把它们作为三角恒等变换的基本训练题. 我们在进行三角变换的训练中，应当紧扣和差角、二倍角这两组公式及变形式子，注重一些三角变换技巧（降次、化一、变角、切弦互化）的训练，但不再训练运用积化和差等公式进行三角变换的题型.

三、教学过程组织的体会：

1. 课时保障及教学进度的制订：

课标教材实验教学中的一个困扰是教学任务难于完成，主要原因是有大纲教材教学经验的老师，拔高了许多教学要求，以大纲教材的定位来对待课标教材，其次是部分教辅资料滥竽充数，教师在帮助学生解答教辅资料的疑难问题上耽误过多的时间.

即使严格按照课标要求组织教学，学生学习的技能也普遍达不到相应的要求，所以增加适度的训练是极为正常的. 我校在课标教材实验的几年中，认真落实以下两方面：

（1）数学教学课时量的保障. 高一、高二年级在周一～周五的学习日中，安排6节数学课，在周六的课外活动日中，安排1～2课时的学习. 每周累计共7～8课时，新授课安排5课时，其余2～3课时进行强化训练及相关的数学实践活动.

（2）学期初认真制订教学进度表，制订时兼顾两个原则，一是依据课标要求，二是结合教学实际. 在全期教学中，以周为单位严格控制教学进度，确保圆满完成教学任务，且留有期末复习的充裕时间.

2. 算法教学中上机练习的安排：

部分学校算法教学，存在的误区是由计算机老师完成. 其实，算法教学必须由数学老师完成，程序编写也应安排上机验证，不只是纸上谈兵学习编程. 我校安排了三周时间进行算法教学，并利用这三周内每周1～2节电脑课进行BASIC的编程练习，请电脑老师组织上机课的训练，数学老师明确每节课的训练任务，并到机房对学生进行编程指导.

算法编程训练的平台选用Windows下运行DOS程序Qbasic，训练的重点是在Qbasic下输入教材上例题与习题的相关程序，并调试其正确性.

通过适当的上机训练，让学生对算法有了一种真切感，激发了学生学习算法的兴趣，巩固了算法中所学习的内容，也提高了学生运用计算机的操作水平.

3. 科学型计算器在教学中的使用：

必修③与必修④的教学中，有几处地方必须训练学生使用计算器解决问题的能力：

（1）“统计”一章关于样本数字特征的学习中，必须要求学生会使用科学型计算器的统计功能，完成一组数据的平均数、标准差、方差的计算；

（2）在统计中求解线性回归模型时，也要求学生会使用科学型计算器，计算关于两个变量的一组样本数据的线性回归方程；

（3）在古典概型与几何概型的学习中，要求学生会使用科学型计算器的随机函数功能，产生某个范围内的随机数，并用随机模拟的方法完成一些概率计算的试验；

（4）在三角函数中学习弧度制与角度制的转换时，要求学生会使用科学型计算器，后面的学习中，也要求学生会用计算器求三角函数值；

（5）在解决实际问题的过程中，可以运用计算器完成结果的计算.

教学中计算器的使用，应有所保留，只在要求用的时候才用，不要在进行简单运算时也使用计算器. 这点要特别强调学生，注意不能因为计算器的使用而削弱笔算的能力.

4. 通过数学应用激发学习兴趣：

必修③与必修④共六个章节的内容，都可以联系到一些实际问题作为学习数学知识的情景. 我们要多联系身边的生活问题，让学生感觉到数学就在身边，数学是有用的.

多谈数学的应用，既能提高学生学习数学的兴趣，也能提高解决实际问题的能力. 两个模块的课标教材主要的实际应用有：

（1）算法思想解决实际问题，如过河问题、电话的计费等；

（2）统计抽样中频率分布直方图的研究、平均数与标准差的计算、线性回归模型等；

（3）概率中的古典概型与几何概型；

（4）三角函数与生活中有周期性变换规律现象的联系；

（5）向量在物理中的应用；

（6）结合三角变换，借助三角函数模型，研究实际生活中的最优化问题.

5. 模块监测与期末复习的有效性：

教学质量的提高，与课堂教学的有效性密切相关，也离不开各单元、各模块知识的过关训练. 每单元的学习，应当配合单元试题进行检测，各模块学习完毕，也要进行模块学习情况的监测.

一个学期学习两个模块的数学内容，不应当只是停留了各模块学分认定的形式上，而应当认真组织好期末复习，以两个模块内容的综合试卷的形式来训练全期学习内容，并认真组织全期学习效果的检测.

我校的期末复习时间一般控制在3周左右，前2周进行两个模块的重点题型归类复习，最后1周通过1～2套试卷来检测效果. 在命制期末复习试卷时，一定要符合课标的教学要求，既要突出两个模块的重点题型，也要突出数学应用及创新思维能力的考查.

四、教材实验问题的斟酌：

1. 正确对待教材及教参的错误：

本次各版课标教材都是一些编者在较短的时间内完成，并没有经历试验成功之后的反复修订. 由于编写的紧迫，教材及教参中的各种错误都在所难免，战斗在教学第一线的教师，有反馈错误和修订建议的权利和义务.

我校在教学中，鼓励师生参与查错，并通过邮箱积极向人教社反映. 关于必修③与必修④两册教材，所发现的一些错误有：

（1）《人教A版必修④》（2005年3月第3次印刷）第148页（ 即3.1.3 例6 解法2）第3行，分子少了2. 由我校高一12班岑志华同学发现，在2004年12月第1次印刷的第150页，也出现同样错误.

（2）《人教A版必修④》（2005年3月第3次印刷）教材P₄₄

例5 求函数 的单调递增区间.

教材P₄₄ 解法的最后一行： .

个人认为应当修订为： .

2. 适度化解教材中的繁难问题：

我们所使用的教材，只是部分学者的劳动成果，并不是全体一线教师的智慧结晶. 教材的编写也受课程标准的约束. 所以，课标教材有它亮点，也有一些弱处. 我们在教学中应当灵活处理教材，选取适当的例题与习题，完成课程标准的教学要求.

在解答数学问题的教学过程中，既要重视解题方法的理解，也要突出解决数学问题的步骤性. 如必修③几何概型一节中类似例2的问题，我们采用四步曲“构设变量→集合表示→作出区域→计算概率”来求解，具体格式如下：

例 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去. 求两人能够会面的概率.

解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.

用 表示每次试验的结果，则所有可能结果为

    ；

记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为

    .

如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内两条直线 ， 所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式，得到

   .

所以，两人能够会面的概率为 .

3. 课标教材及实验中的其它问题：

（1）算法案例中更相减损术，《九章算术》中的口诀是“可半者半之，不可半者…”.在实际运用中，发现两个数都是偶数时，不用2约简也可相减而求，但口诀为何如此呢？

（2）必修③与必修④的教学中，师生都可能存在一些失误，如何有效地避免这些误区，例如错算几何概型中个别问题、混淆三角变换顺序等.

（3）课标教材实验教学中，教师如何把握好教学要求，做到不超出课标要求，不加重学生负担，大胆删去教辅资料上的超标练习，合理选用教材上适合学生的例题及习题.

（写于2007年2月16日）

参考文献:

[1] 教育部，《普通高中数学课程标准（实验）》，人民教育出版社，2003

[2] 章建跃，A版数学教材的改革与创新，《试教通讯》2006年第4期

[3] 宋莉莉，A版数学三简介，《试教通讯》2006年第4期

(注：此文观点仅供参考）

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